ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée : 1h / Coefficient : 5

Nota : les deux parties sont indépendantes. Dans chaque partie, les questions doivent être traitées dans l’ordre.

Partie 1 —

Anne et Jocelyne veulent débarrasser leur grenier. Le grenier contient :
– 2 fauteuils portant des taches de moisissures
– 1 vase de porcelaine fêlé
– 1 armoire sans portes
– 1 lampadaire avec une ampoule 110 V
– 1 cadre de bicyclette rouillé
– 4 chaises paillées mangées par les souris
– 1 matelas de lit enfant d’où dépasse un ressort
– 1 table de cuisine en formica
– 1 pneu de camion
– 1 porte-manteau auquel manque un pied
– 3 volumes de l’Encyclopædia Universalis en 20 volumes
– 1 carton fermé

1.1) Pour apporter un objet à la déchèterie, il faut le descendre du grenier, le charger dans le camion, puis à l’arrivée le décharger du camion et le porter dans le bac approprié. Cela prend en moyenne 8 minutes par objet. Sachant que la location d’un camion de taille convenable pour une journée coûte 70 € et qu’une heure de travail coûte 15 €, à combien revient le transport de tous les objets à la déchèterie ?

1.2) Anne estime qu’elle peut vendre sur le Bon Coin chaque fauteuil pour 8 €, l’armoire pour 12 €, chaque chaise pour 3 € et la table pour 6 €. Pour vendre un objet sur le Bon Coin, il faut poster une annonce, répondre aux messages des acheteurs éventuels, descendre l’objet du grenier, le nettoyer, attendre l’acheteur et lui remettre l’objet. Cela prend en moyenne 45 minutes par objet. Si Anne décide de vendre tous les objets vendables sur le Bon Coin et d’apporter les autres à la déchèterie, à combien lui reviendra l’ensemble de l’opération ?

1.3) Jocelyne propose de ne vendre qu’une partie des objets sur le Bon Coin et de brûler les autres. Sachant qu’il faut en moyenne 10 minutes de travail pour brûler un objet, comment Jocelyne doit-elle répartir les objets entre ceux à vendre et ceux à brûler pour minimiser le coût total ? Quel sera le coût total avec cette répartition ?

1.4) Le Code de l’Environnement punit de 150 € d’amende le fait de brûler des objets polluants sans prendre les précautions requises. En quoi cela modifie-t-il la réponse à la question 1.3 ? Justifiez votre réponse.

Partie 2 —

Anne et Jocelyne ont ouvert le carton qu’elles ont trouvé dans leur grenier. Il contient :
– 2 fémurs
– 3 tibias
– 1 clavicule
– 1 crâne

2.1) Le directeur du laboratoire « Méthodes d’étude des sépultures » du CNRS estime que chaque os a une probabilité a priori de 0,5% d’appartenir à Nithard. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un des os appartienne à Nithard ? On pourra supposer, contre toute vraisemblance, que les probabilités des différents os sont indépendantes.

2.2) En analysant un os, le laboratoire peut déterminer s’il appartient ou non à Nithard. La méthode d’analyse présente un risque de faux positif de 2% et un risque de faux négatif de 5%. En analysant tous les os, quelle est la probabilité de trouver qu’au moins un os appartient à Nithard ? Quelle est la probabilité qu’au moins un os attribué à Nithard lui appartienne réellement ?

2.3) Si au moins un os peut être attribué à Nithard avec une certitude au moins égale à 95%, Anne estime que cela attirera 5000 visiteurs chaque année. Sachant que l’analyse d’un os coûte 2500 € et que chaque visiteur paye un droit d’entrée de 20 €, combien d’os Anne doit-elle faire analyser par le laboratoire pour maximiser sont profit la première année ?

2.4) Si Anne décide de faire analyser tous les os par le laboratoire, au bout de combien d’années ses recettes dépasseront-elles ses dépenses avec une probabilité supérieure à 95% ?

2.5) Si le laboratoire attribue au moins un os à Nithard alors qu’en réalité aucun os ne lui appartient, et si l’erreur est découverte, Anne a une probabilité de 80% de perdre son emploi. Sachant que le risque de découverte de l’erreur est de 3% chaque année et que le salaire annuel d’Anne est de 50 000 €, a-t-elle intérêt à faire réaliser les analyses ?

2.6) Anne décide d’annoncer qu’un os appartient à Nithard, sans faire effectuer d’analyse. Si la supercherie est révélée, elle perdra son emploi avec une probabilité de 99%. Quelle somme Jocelyne peut-elle exiger d’Anne chaque année en échange de son silence ? Que feriez-vous à la place de Jocelyne ? Que feriez-vous à la place d’Anne ? Justifiez vos réponses.